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··天文 +++ 地理··赵有词博客

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(三角形周长最短)“将军饮马”问题及拓展  

2013-11-05 08:38:40|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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        学生遇求三角形最短周长问题抓耳挠腮,看我找的这个帖子有用不?

1.问题提出
        唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.
如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
(三角形周长最短)“将军饮马”问题及拓展 - ·天文  ·  地理· - ··天文 +++ 地理··
这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.
       将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短?
       从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.
这个问题的解决并不难,据说海伦略加思索就解决了它。
 
2.解决办法
(三角形周长最短)“将军饮马”问题及拓展 - ·天文  ·  地理· - ··天文 +++ 地理··
 
        如图所示,从A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,
取A关于河岸的对称点A',连结A'B,与河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B,所走的路程就是最短的.
如果将军在河边的另外任一点C'饮马,所走的路程就是AC'+C'B,但是,AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.
        可见,在C点外任何一点C'饮马,所走的路程都要远一些.
        这有几点需要说明的:(1)由作法可知,河流l相当于线段AA'的中垂线,所以AD=A'D。(2)由上一条知:将军走的路程就是AC+BC,就等于A'C+BC,而两点确定一线,所以C点为最优。

 3将军饮马问题的应用拓展

        如图,有A、B两个村庄,他们想在河流l的边上建立一个水泵站,已知每米的管道费用是100元,A到河流的距离AD是1km,B到河流的距离BE是3km,DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少,为多少?

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解:如图所作,C点为水泵站的位置。
依题意,得:所铺设的水管长度就是AC+BC,即:A'C+BC=A'B的长度。
因为EF=A'D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km
又A'F=DE=3km
在Rt△A'BF中,A'B^2=A'F^2+BF^2
所以:解得:A'B=5km
所以总费用为:5*1000*100=500000(元)
 
 
 
 
 

 

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